Ciąg Fibonacciego

 Ciąg Fibonacciego:

ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

         Formalnie:

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego. Zaliczanie zera do elementów ciągu Fibonacciego zależy od umowy – część autorów definiuje ciąg od  .

Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:

Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę „ciąg Fibonacciego” spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas.

Poniżej znajduje się sposób, w jaki możemy wyliczyć współczynniki Fibonacciego:
1 ÷ 1.618 = 0.618

0.618 × 0.618 = 0.382

1.618 × 1.618 = 2.618

2.618 × 1.618 = 4.236

1 – 0.618 = 0.382

1.618 ÷ 0.618 = 2.618

0.618 ÷ 1.618 = 0.382, itd.

Spośród wszystkich współczynników Fibonacciego najważniejszą rolę odgrywają liczby 0.618 oraz 1.618. Liczba 1.618 znana jest również jako liczba Phi. Liczba Phi ukazuje złoty podział, który został zobrazowany na rysunku poniżej. Jest to podział odcinka w taki sposób, by stosunek odcinka dłuższego do krótszego (niebieski do czerwonego) był taki sam jak suma dwóch odcinków do odcinka dłuższego (zielony do niebieskiego).

Warta wzmianki jest spirala logarytmiczna. która rozwija się lub kurczy w oparciu o współczynnik 1.272, który jest pierwiastkiem z liczby Phi.

Proporcje wynikające z ciągu liczbowego odkrytego przez Fibonacciego można zaobserwować w przyrodzie. Do nich należą np.: tarcze słonecznika, różyczki kalafiora, owoce ananasa, gdzie ułożenie spiral wynika z ciągu Fibonnaciego. U większości roślin – łodygi, liście oraz kwiaty rozwijają się pod kątem, który można obliczyć wykorzystując liczby wspomnianego ciągu. 

Przykłady występowania liczby Phi, którą również wynika z ciągu jest chociażby budowa ciała człowieka. Rzutując proporcje (0.382 oraz 0.618) na twarz człowieka uzyskalibyśmy złoty środek w postaci linii oczu. Innym przykładem jest wzrost człowieka. Stosując złoty podział dowiemy się, że pępek znajduje się na granicy tych proporcji. Kolejnym przykładem jest nasza ręka, gdzie łokieć jest złotym środkiem, mierząc długość ręki od ramienia do końca palców.